我在这家私立医院，试用期已经过去三个月了，

您有权要求医院正式聘用或支付赔偿金。依据《劳动合同法》，医院未正式聘用也未解雇，若您要求继续工作，医院应继续履行；若不能或您不要求，医院应支付赔偿金。不及时处理，可能导致您的权益长期受损，无法获得应有待遇。
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您可选择要求医院正式聘用、支付赔偿金或向劳动行政部门申诉。若希望继续工作，可与医院协商要求正式聘用；若不想继续，可要求赔偿；若医院不配合，可向劳动行政部门申诉以维权。
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可要求医院正式聘用或赔偿。具体操作：1.与医院沟通，明确表达要求正式聘用或按法律规定支付赔偿金；2.若医院拒绝，收集工作证据，如合同、工资单等；3.向当地劳动行政部门提交申诉材料，包括情况说明和证据，请求介入处理；4.等待行政部门调查并出具处理意见，必要时可寻求法律援助。